一元二次方程的根与二次函数的图象间的关系——《顶尖中考数学微专题》部分试题解析(2)

Original 2018-02-27 永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂

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说明：经福建人民出版社同意，将陆续发布《顶尖中考微专题》的部分试题解析，弥补因版面限制而带来的不足，也希望能给读者朋友在学习和使用中所遇到的一些困惑提供帮助.若需要购买这本书的朋友可打开“《顶尖中考数学微专题》”(直接点击打开)阅读购买方法和购买链接，若需要视频详细解析的朋友可打开“《顶尖中考数学微专题》例、习题视频讲解(共1487分钟)—与书配套视频”(直接点击打开)，可参考视频中的解答.

【试题】(P.6拓展与变式2)已知关于x的一元二次方程x²＋(k－5)x＋1－k＝0.

（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.

（3）已知函数y=x²＋(k－5)x＋1－k的图象不经过第三象限，求k的取值范围.

【解析】

(1)非特殊形式的一元二次方程，因此应该根据根的判别式的符号进行证明：由于△＝(k－5)²－4(1－k)＝…＝k²-6k+21＝(k－3)²+12≥12＞0，因此原方程总有两个不相等的实数根.

（注：若经过简单化简可得到形如”(ax+b)²=k“的形式，则可直接利用k的符号判断或证明；若方程能够容易求出，也同样直接判断，如：x²＋(k－5)x－5k＝0，原方程可化为(x-5)(x+k)=0，则此方程当k≠－5时，有两个不相等的实数根，当k＝－5时，有两个相等的实数根.）

(2)法一（用韦达定理）：不妨设两根分别为x₁和x₂（且x₁<x₂），则有x₁<3且x₂＞3，此时必须转化为x₁－3＜0且x₂－3＞0， 47 32347 47 15193 0 0 5750 0 0:00:05 0:00:02 0:00:03 5750后利用积的符号进行判定，不可直接判断，即(x₁－3)( x₂－3)＜0，由此得到:

x₁x₂－3(x₁+x₂)+9<0

　又因x₁+x₂＝5－k, x₁x₂＝1－k,

因此1－k－3(5－k)+9<0,

　　解得k<2.5，

　所以k的最大整数值为2.

（说明：如果不直接用“根与系数的关系“，则可先用求根式公式写出两根，再代入计算，虽然麻烦，但避开了这个选学的性质——韦达定理，因此下面的法二就显得的重要了.）

法二：若设y=x²＋(k－5)x＋1－k，则原问题就转化为该二次函数的图象与x轴的两个交点分别在（3，0）的两旁。结合图象（由(1)知：该二次函数的图象与x轴必有两个交点，且开口向上），不难得到：当x=3时对应的函数值为负，所以3²＋(k－5)×3＋1－k＜0，解得k<2.5，……（下同）.

（显然比原来的解法简单多了，书中之所以不用这种解法，主要是为了复习一元二次方程的相关知识）.

（3）法一：由(1)知：△＞0，该抛物线与x轴有两个交点，设两交点的横坐标为x₁和x₂，当函数y=x²＋(k－5)x＋1－k的图象不经过第三象限时，则有x₁＞0且x₂＞0，所以x₁+x₂＞0 且x₁ x₂＞0，所以有5－k＞0且1－k≥0，解得k≤1.